「コマの原理」の分かりにくい理由
ここでは、一般に説明されている方法と比較しながら、「コマの原理」の分かりにくい理由について考えてみます。
まず、最も基本になるのが、質点の運動方程式です。
F = m α
ここで、F;加えられる力  m;質点の質量  α;加速度 となります。

この場合は、物質の質量は1点に集まっていると考えていますが、コマの様な物(剛体)では多くの質点の集まりとして計算し、上記の運動方程式より次の式が得られます。

N = I α
ここで、 N; 力のモーメント、 I; 慣性モーメント、 α; 角加速度
と元の運動方程式と非常に似ていますが、全く異なるのはベクトル計算式になっていることです。

ベクトルとは、力などを表すのに、大きさだけでなく、方向も含めて示す物で、力の釣り合いなどを示すには、とても分かりやすいものです。

しかし、これを回転体に当てはめると一般の人には非常に理解困難になります。
しかも、ベクトルの計算では、外積と言う一段と分かりにくいものを使うことになります。

この分かりにくさを避けるため、「角運動量と力積のモーメント」による方法が良く使われています。

これは、質点の運動方程式を
F = m Δv/Δt
とし、  F Δt = m Δv=Δp
とするものと似た方法です。(運動量の変化量 Δpは,  力積 FΔtに等しい)

これと似た方法を剛体の式に当てはめると、
N = I Δω/Δt =ΔL/Δt より
ΔL=NΔt
となります。
ここで、ΔL;角運動量の変化分  N Δt;力積のモーメント です。

この方法では、普通の平行四辺形を使うベクトルの加算のみですむので少し分かり易くなります。
ネットで調べてみると殆どのものがこの方法で説明しています。


しかし、残念ながら一般の人には回転体の説明にベクトルを使ったのではやはり理解困難です。

ここでは、それを球面上の速度の合成として扱っていますので、その対応について、以下説明します。

まず、立体的な物を平面上で説明するのはとても分かりにくいので、次のような図を作ってみました。



この図をプリントして、上と下の折り線で90度、向こう側に折って下さい。

また、その中には地球ゴマに対応するように球状の回転体が入っていると想像してください。

そして、「
ベクトルで見ると」と書いてある図形を球の中心に移します。

球面上での点の移動で見ると」 の部分は
上の図形、下の図形をそのまま球の表面に移動して下さい。


図4.1


そうすると、下図の様な物が得られます。
図4.2

ここで、「赤道上の点の元の運動」の2つの黒い矢印が「ベクトルで見ると」の「元のベクトル」
に対応しているのが分かります。
(右ネジの法則で矢印の方向も合っているのを確認して下さい。)

また、「
新たに生じた運動」の空色の2つの矢印が「新たに加わったベクトル
に対応しているのが分かります。
(ここでも、右ネジの法則で矢印の方向を確認して下さい。)

最後に、2つの和である黒い点線でも同じ事が言えるのを確認して下さい。


結局、一般にベクトルの加算で普通に説明されているは、
ここでは、単に球面上の速度の合成として
説明できる事が理解できるでしょう。

また、ここでの角運動量は、質点の力学のmv
に対応し
球面上の矢印は速度vに対応しています。
従って、ベクトルの絶対値をm相当分で割ると
各対応する速度vになります。

このため、球面上に描かれた合成図形は
ベクトルでの合成図形に相似になります。

このことは、ここでの説明がいわゆる「子供だましのトンデモ」でないことを示していると言えるでしょう。


論理の展開と参考資料

ここでは、参考資料をもとに論理の展開を少し詳しく見てみましょう。
まず、基本になるのは質点系の運動方程式
F=mα
になります。

ここから、剛体の力学に進むには、剛体を多数の質点の集まりとして計算を進めます。
そしてオイラーの運動方程式  N=dL/dt 
が導き出されます。
この過程については、(1)で詳しく説明されています。

また、(8)では、円周上に10個の質点を置き、それをコマに見立ててコンピュータ シミュレーションを行っています。
質点の集まりから剛体の計算への移行の考え方の参考になるかも知れません。

ただ、厳密な論理の必要がなければ、質点の力学から、剛体の力学への変換は簡単なようです。

今、ここに質量ゼロの回転円盤があり、その中心から r の点に質量 m の質点を一個おいたコマを考えます。
その質点に円周方向の力 F を加えたときの運動方程式を考えてみます。
図4.3


それを質点の運動方程式に入れて変形して行きますと、以下のように簡単に剛体の式が得られます。


(ベクトル式への変換に関しては、(2) を参照してください。)

注意 
軸の上、下端は、軸受けできちんと固定しておきます。
質点は、任意に増やす事が出来、その際は I (慣性モーメント)は各質点の I の総和になります。
力のモーメント N は、回転軸方向のみを考えることにします。

これで見ますと、剛体の運動方程式はごく当たり前のことを表現している様に見えます。

剛体の力学では、ベクトル計算になりますが、ベクトルの解説としては、 (9)が分かり易い様です。

他の多くの資料では、剛体の力学の式が出発点になっており、それと質点系の式が非常に良い対応をしているのを強調しています。
ホームページ(2)、 (5) で分かり易く対応させた表が載っています。

 (3)では「角運動量と力積のモーメント」の考え方を質点の力学と対応して分かり易く解説しています。

以下現在作成中

参考資料

文献では
1.「こまはなぜ倒れないか」 安井久一著 があります。

また、ホームページでは、次のような物があります。
2.「物理学解体新書」剛体の力学
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/index.html
3.「角運動量と力積のモーメント」 岐阜物理サークル・村田憲治
http://physics.atnifty.com/pdf/980901.pdf
4.「EMANの物理学」力学
http://homepage2.nifty.com/eman/
5.「コマとジャイロについて」 機械工学専攻 金子成彦
http://knock.t.u-tokyo.ac.jp/lecture/5.pdf
6.「おもしろいコマの実験」 中島 博 川畑誠一
http://www3.withnet.ne.jp/nakahiro/index.html
7.回転の運動方程式の実例
http://spinman.phys.metro-u.ac.jp/pdf/RotMot.pdf
8.sf と python による独楽の運動
http://www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/top/top.htm
9.ベクトル
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/1505/vx_index.htm
10.●回転するコマはどうして倒れない??●
http://cheese.2ch.net/sci/kako/1001/10013/1001344771.html