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物理のかぎしっぽ掲示板に投稿したところ、多くの問題を頂きましたので少しずつ検討してみます。
過去ログに入っていますので、下記から参照してください。

摩擦が無いとコマは永久に倒れないか 
- 2006/05/13(Sat) 09:40 No.9316

また、続編として
無題 Joh - 2006/05/18(Thu) 20:00 No.9404
があります。

参考までにこれらの内容を末尾に転載しておきます。

検討


1.私の球面上での速度ベクトル合成による説明に関して大分疑問を持たれたようで、『 説明の途中に飛躍・無理・ゴマカシがあるのでは 』 とのことでした。 トンガリさんより

これに関して、私なりに検討してみました。

1.基本的な考え方
まず、この説明法は、「コマの原理の分かりにくい理由」の項目の図で説明している様にベクトルによる方法とほぼ等価です。
そして、普通に説明されているベクトルによる方法は、間違いの無いものなので、それと見比べる方法で検討してみました。
その結果、かなりの変更が必要なのがわかりました。

その辺から解明していきましょう。

2.地球ゴマの場合
図5.1

上図の様なコマを宇宙空間の様な所で回しておき(下端は固定されていない)、図の様な力を加えると上端は左に、下端は右に振れます。
これは、地球ゴマを図3.2の様にひねった場合に相当し、重心を中心として軸の上、下端は反対方向に振れます。
この場合は、ベクトルによる方法とほぼ完全に一致し変更は必要ないようです。

また、この様な場合に相当する歳差運動も観察できます。

山旅人さんの実験、およびトンガリさんの
>ガラスの床に油を引いて、支点が丸先のコマを回すと。
>上空から見て、コマは重心の周りに回転して、一点に留まり、
>支点が歳差運動よろしく円を描くのではなかろうか???
ですが、小さい地球ゴマの中身のみを取り出し同じく油を塗った鏡の上で回したら
重心の点は動かず、コマの上、下端が歳差運動をすることもあるのが分かりました。

もちろん、普通の歳差運動をすることもあります。

3.具体的な数値による検討
1.球の赤道の長さが100mmのコマを考え、その表と真裏に2つの点をとる。
 (球の中心を挟んで丁度反対の点)
2.球を毎秒100回転させ、一つの点が丁度真正面に来た時に、100万分の1秒間、軸の上端に一定の力を加える。
  (その間に点は100分の1mm動く。)
3.その後の1万分の1秒間の点の動きを調べる。(1mmに相当)
図5.2


.下端を固定した普通のコマの場合

下端を固定した普通のコマの場合は、かなり面倒になりそうです。
図のように、コマを質量のない球形のカプセルに軸が共通になるようにして入れ、同時に回転します。
その状態で、カプセルの中心が動かないようにして、短時間カプセルの上、下端に力を加えます。
その時のカプセル赤道上の点の動きを観察すれば、ベクトルによる方式と一致するようです。
図5.3


5.角運動量LとdL
まず「赤道上の点の元の運動」と「新たに生じた運動」より合成された「合成した実際の運動」(いずれも速度ベクトルと考えて下さい)を見てみましょう。
そうすると、「合成した実際の運動」は明らかに「赤道上の点の元の運動」より大きくなっています。
この事は、歳差運動を行っているとコマの回転速度がどんどん上昇していくことになります。
そんな馬鹿な!と思ってベクトルでの図を見てみるとこちらでも明らかに速度が上昇しています。
しかし、ベクトルの方法では誰も問題があるとは言いません。

これは、「新たに生じた運動」に相当する物は、例えばdLで表しますと、ベクトル演算などでは自動的に dLはぼぼ0として処理されることになります。
そして、Lが一定値になるまでその繰り返しでが行われます。

従って、球面での速度ベクトルの合成でも、「新たに生じた運動」は無限小として考え、それを何度も繰り返す必要があるのですが、ここではその事は述べませんでした。

では、この繰り返しを何度も行ったら本当に元のベクトルは同じ大きさに留まるのでしょうか。
これを調べるため、この操作をあらく行ったとき、細かく行った時をグラフ表示してみました。

これで見ると、操作を無限に細かく行ったときは、数学的には円と重なると考えて良いようです。
図5.4


従って、円の半径の増加は無く、半径は一定になるでしょう。

トンガリさん、Johさんの疑問もこれで解決するのではないでしょうか?

6.モデルの再構成の必要性
このモデルでは、軸の上端を押したら、90度ずれた方向に軸が動き始める。
所までしか、サポートしていません。
従って、軸が無限小動いた段階でモデルの再構築が必要です。
図で、はじめに、平面a,M,oに軸があるとすると、次に平面b、M,oに軸が移ります。
この各段階でここでのモデルを適用するのですが、a,b,c・・の間隔は無限小でなければなりません。
図5.5


7.歳差運動でコマは倒れないか?

例えば89.9度横に首を振るとしたら、徐々にではありますが、やはり回っているうちに転ぶでしょう
との疑問に関して。 Johさんより。

質問の意味は歳差運動をしていると、摩擦がない場合でも次第にコマは傾いていってついには倒れてしまうのでは?
との意味と考えます。

これを力学的に納得するのは難しいかも知れませんが、エネルギー的には簡単に分かります。

歳差運動をしているとき、エネルギーを補給してやりますと、コマは立ち上がっていきます。
反対に、エネルギーを取ってやりますと倒れていきます。
(簡単に位置エネルギーmghと割り切ることはできませんが!)

この事は、地球ゴマを細いゴミ紐で吊って実験してみると分かります。
図5.6


そうしますと、歳差運動をしながら倒れていったとすると、そのエネルギーの行き場が必要になります。
(コマの回転が速くなることはありませんし)
しかし、どう考えてもこのエネルギーの行き場がありません。
そのため、倒れることはできないと考えられるのですが。

以下、作成中。

Johさん、yamaさん、トンガリさん、山旅人さん、ありがとうございました。

物理かぎしっぽ掲示板

過去ログ転載

「物理のかぎしっぽ」の過去ログで、関係する部分のテキストコピーをここにあげておきます。

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摩擦が無いとコマは永久に倒れないか トンガリ - 2006/05/13(Sat) 09:40 No.9316

重心が支点より上にある普通のコマで、
『 コマが重力で倒れようとすると、歳差運動をして倒れない 』
との普通の説明は、私にも定性的には、ほぼ納得できます。

【質問】
仮に、支点での摩擦抵抗やコマの空気抵抗が全く無ければ、
すなわち、コマは重力の影響だけを受けると仮定すれば、
歳差運動をしているコマは永久に倒れないのでしょうか。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか たけだ - 2006/05/13(Sat) 11:50 No.9319

トンガリさん やじろべえではご苦労様でした。

ご質問の件ですが、よほど突飛なことでも考えない限りコマは永久に倒れないと言って良いと思います。

例えば、少し倒れたとするとmghのエネルギーが失われることになりますが、その行き場がありません。

また、数学的には次のホームページにある説明が分かり易いかも知れません。
http://spinman.phys.metro-u.ac.jp/pdf/RotMot.pdf
引用しますと
元々コマの回転による角運動量 L が有るので、
力のモーメント N の方向に角運動量が成長するのではなく、
単に角運動量 L の方向が、 L と常に垂直な dL の方向に変わ
るだけである
とありました。

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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか トンガリ - 2006/05/13(Sat) 16:54 No.9320

引用の原文を見ました。
力のモーメント N の方向に角運動量が成長するのではなく、
単に角運動量 L の方向が、 L と常に垂直な dL の方向に変わるだけである。

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私には上記の『垂直な方向に変わる』理由が分からないのです。丁寧な説明が無いからです。
仮に、それはコマが自転しているからだとしても、ちょうど垂直になる理由が分かりません。
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機械設計者はコマの角運動量ベクトルと重力のモーメントのベクトルのベクトル合成で妙に
分かってしまうだけの器用さがありません。図で納得しようとするので時間が掛かります。
ベクトル合成したものをベクトル分解すれば元の木阿弥にも思えます。数学が苦手なせいか。
三次元で描いたコマが自転すると四次元になり、図で納得しようとするのは元来無理なのか。

歳差運動が始まってしまっていて、
支点周りの重力と歳差運動の向心力の二つのモーメントが釣り合えば、
摩擦が無いとコマは永久に倒れない≠フも不思議でない。とも思います。

コマに働くモーメントの釣り合は成り立つたとして、コマに働く力の釣り合いを検討します。
重力は摩擦が無くても支点からの反力と釣り合うが、向心力は床との摩擦力と釣り合うのか知らん。
摩擦抵抗が無いと仮定したが、回転摩擦抵抗は無いが摺動摩擦抵抗は有る≠ニ訂正すべきか。
こんなコマを「 ねむりゴマ 」と呼ぶのか知らん。

私は肝心の歳差運動が始まる過程がよく分からないのです。自然が不安定を嫌うからなのか。

長話で、話の焦点がボケましたが、上記の 分からない 事を 分かりたい のです。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか 山旅人 - 2006/05/13(Sat) 17:58 No.9321

途中から横槍を入れて申し訳ありません。

> 仮に、支点での摩擦抵抗…が全く無ければ、…

コマは歳差運動をすることなく,支点が面をすべって,あっというまに倒れてしまうでしょう。歳差運動をすることができるのは,支点での摩擦抵抗が <b>ある</b> からです。滑らかな(大理石などでできた)壁と床に傘を立て掛けようとしてもうまくいかないように。たけださんの引用記事の中にもあります。

水平面に回転軸が鉛直に立っているコマは,空気の抵抗もなければ永久に回転し続けるのではないでしょうか。それに近いコマを <b>眠りゴマ</b> というようですよ。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか たけだ - 2006/05/13(Sat) 18:13 No.9322

トンガリさん レス拝見しました。

>私には上記の『垂直な方向に変わる』理由が分からないのです。丁寧な説明が無いからです。
>仮に、それはコマが自転しているからだとしても、ちょうど垂直になる理由が分かりません。

自分のホームページで恐縮なのですが、そこに「コマの原理の分かりにくい理由」の項目があり、図があります。
そこでベクトルで見るとの部分で、元のベクトルと新たに加わったベクトルとは直交していますよね。
これでご理解頂けないでしょうか?
http://homepage3.nifty.com/ichirotakeda/

トンガリさんの、その後の部分の文章は私の能力では理解不可能でしたのであしからず。

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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか たけだ - 2006/05/13(Sat) 18:51 No.9323

山旅人さん こんばんは。
丁度書き込みを始めたところでレスを見つけたので、2つになってしまいました。

私は支点での摩擦が全くなくても順調に歳差運動をすると考えています。
傘を立て掛けるのとことなり、コマは歳差運動で斜めに傾いていても、床面には垂直の力しかかかっていません。
従って、どんなに滑りやすい床の上でコマを回しても問題ないと思いますが。

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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか 山旅人 - 2006/05/13(Sat) 19:46 No.9325

たけださん,こんばんは。

> 支点での摩擦が全くなくても順調に歳差運動をする…

いいえ。コマが傾いている場合,重力と支点に働く垂直抗力は,コマを倒す偶力を形成します。

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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか yama - 2006/05/13(Sat) 23:34 No.9326

コマの原理については、たけださんのホームページで基本的なことは説明されていると思います。しかしその説明は、ジャイロスコープや地球ゴマはともかく、一般的なコマにはそのまま当てはめられない点もあるようです。というのは大抵の場合、コマは重心で固定されてはいないからです。
たとえば、軸の下端で固定されている場合については、多くの力学の本で論じられていますが、鉛直軸と一定の角度を保ったまま歳差運動をするのではなく、傾きの角度自体も変動します。
これを章動といいますが、この章動の原因を数式を用いないで説明することは難しいように思います。少なくとも私にはできません。
「なぜか分からないが計算したらこうなった。」というのでは納得し難いと思いますが、物理的意味を考えながら数式を追っていけば、多少は理解できるのではないでしょうか。力学の本を読んで考えてほしいと思います。そして数式を用いない説明を考えつかれたらぜひ発表していただきたいと思います。
なお、現実には軸の下端にはたらく摩擦力のため、章動は減衰して定常な歳差運動に近づくそうです。

次に摩擦のない面上では、軸の下端は水平方向に動くことができます。
しかしこの場合でもコマは倒れずに回転することができます。
確かに山旅人さんが書かれたように重力と支点に働く垂直抗力は,コマを倒す偶力を形成しますから、回転していなければすぐに倒れてしまいます。しかしその点は下端が動かない場合も同じことで、その場合は摩擦力を含めても、全体としてコマを倒すような偶力が生じ、回転していなければ倒れます。しかし、どちらの場合も回転していれば倒れません。
この場合の運動についても力学の本に書かれていますが、水平方向には力がはたらかないので、重心は水平方向には等速直線運動をします。水平方向の運動がないように初期条件をとると、重心は鉛直方向に上下運動をします。
コマの回転の様子は、下端が動くこと以外は下端が固定されている場合と似たものになるようです。といっても実際に運動方程式を解いていくと超楕円積分が出てきたりしてかなり面倒なことになるらしいですが・・・。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか たけだ - 2006/05/14(Sun) 14:04 No.9330

yamaさん こんにちは。

>コマの原理については、たけださんのホームページで基本的なことは説明されていると思います
1年前にホームページを作って以来、初めてコマのことをよく知っておられる方から適切なレスを頂き大変感謝しております。

>一般的なコマにはそのまま当てはめられない点もあるようです。
ご指摘の通りです。
普通のコマのみではどうしても説明不足になってしまいますので、地球ゴマとの説明が混ざっていますが、原理的には変わらないので仕方がないか!と考えています。

章動に関しては、もちろん承知しておりましたが、手一杯でできませんでした。
今後、できましたら数式を用いない説明を考えてみたいと思います。

コマの原理に関しては、「こまはなぜ倒れないか」安井久一著をはじめ、ネットでも色々記載がありますがいずれも分かりにくいものばかりです。
従って、「どうして回転しているコマは倒れないのでしょうか。
このような現象が発見されてから、数百年、あるいは
それ以上経っていると思われますが、この理由を知っている
人は誰もいません。」
と言った文章が堂々と通用している状態です。
そこで、少し反抗心を起こして「中学生でも5分で分かる説明」を考えてみた次第です。

また、この様な「分かり易く説明できる物」を非常に分かりにくく教えられているのが多く、大勢の学生や勉強しようとしている人達が苦しんでいるのが実情です。
偉い先生方も、研究のみでなく「どの様に教えたらより分かり易いか!」にももっと力を入れて頂ければ幸いです。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか yama - 2006/05/14(Sun) 17:05 No.9333

コマについては、私も詳しく知っているわけではありません。力学の本に書いてあることを説明しただけです。
たけださんのホームページの内容がさらに充実することを期待しています。

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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか 山旅人 - 2006/05/14(Sun) 20:27 No.9337

たけださん,こんばんは。yamaさん,いつも有用なご指摘をありがとうございます。
まずは,昨夜の書き込みの撤回とお詫びを致します。私も,地球ゴマを使って観察してみました。

かなり速く回転させた地球ゴマの地軸の両端を手で持ち,地軸を鉛直から 30゜ ほど傾けてほぼ水平なガラス板の上に静かに置いてみました。ガラス板とコマの接点は摩擦が 0 ではありませんが,小さいと考えてよいかと思いました。
地球ゴマは,重心をほぼ不動に保ち,接地点で円を描きながら,文字どおり 「みそすり運動」 を開始しました。
この時点で,私の書き込み 『あっというまに倒れてしまう』 は誤りであることが確認できました。
私は,コマの歳差運動はもちろん何度も見,知っていたつもりでしたが,歳差運動は接地点での摩擦による転倒抑制があって初めて可能であると思い込んでおりました。

きっと,摩擦が 0 の面上ならば,コマは回転軸の傾きを一定に保ったまま,みそすり運動を永久に続けるのでしょう。

その後,私の地球ゴマは,接地点が描く円の半径が徐々に大きくなり,同時にゆっくりと起きあがり,ついには軸を鉛直に立てて円運動を始めました。
これは,私は,小さいながらも摩擦が橋渡しをする,逆立ちゴマ効果の現れだと思います。

ところで,この 「永久のみそすり運動」 は,コマの回転がある程度以上速くないといけない,最初に与える軸の傾きと回転数との間には(当然ながら)関係があると思われます。今回の観察でも地軸を 45゜ 近く傾けた場合には倒れてしまいましたので。
しかしながら,私にはコマの回転数を測定することができません。いま少し定量的な考察をしてみたいものです。



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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか たけだ - 2006/05/14(Sun) 21:28 No.9338

山旅人さん こんばんは。
地球ゴマを使って色々実験して頂きありがとうございました。
コマは単純ですが、その運動は結構複雑で、癒し効果もあり面白いですね。

>書き込みの撤回とお詫びを致します
これらの事に関しては、あまり気にかけないようにしましょう。
そうでないと、怖くてうっかり書き込みもできなくなりますから。

山旅人さんは大分ご高齢とのことですが、ハンドルネームから見ると大分ご活躍のようですね。
ますますお元気で頑張ってください。
私も72歳をすぎました。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか トンガリ - 2006/05/15(Mon) 09:25 No.9343

議論の主題ではありませんが、

たけださんの
>私は支点での摩擦が全くなくても順調に歳差運動をすると考えています。

山旅人さんの
>歳差運動をすることができるのは,支点での摩擦抵抗が ある からです。
>コマが傾いている場合,重力と支点に働く垂直抗力は,コマを倒す偶力を形成します。

が対立します。私は山旅人さんの意見を支持します。したがって、問題を考える条件として、
旧支点の摩擦抵抗が無い≠ 新回転摩擦抵抗は無いが摺動摩擦抵抗は有る≠ノ改めます。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか トンガリ - 2006/05/15(Mon) 12:14 No.9347

ガラス板に油を引いた床で実験しました。
ただし、支点は丸先と言うよりか針先のままです。

コマが理想的に工作出来てないのか、支点の滑りが理想的でないのか、
ガラスから予想外に音が出ます。それはさておき、

上空から見て、コマは重心の周りに回転して、一点に留まり、
支点が歳差運動よろしく円を描く。

のが事実のようです。したがって、問題を考える条件として、
新回転摩擦抵抗は無いが摺動摩擦抵抗は有る を撤回し、
旧支点の摩擦抵抗が無い に復旧します。

この様な錯誤が起きた原因は何でしょうか、
【 力が先にありきで、運動を説明する 】 手法が原因かと思います。
力とは重力や向心力です。コマは何しろ自転しているので難解です。
【 運動が先にありきで、力を説明する 】 手法がコマの問題を考える時の秘訣。

かと、薄らボンヤリ思っています。運動とは各質点の速度ベクトルです。
後者の手法で、ジャイロ効果の納得行く説明ができないか、私は今後検討します。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか たけだ - 2006/05/15(Mon) 14:57 No.9348

山旅人さん、とんがりさん こんにちは。
私も鏡の上に油を敷いて、地球ゴマで色々やってみました。
その結果、実に良く動き回ること、また、それには枠が本体との摩擦で回り出し、その影響が強いことが分かりました。

トンガリさんの
>ガラスの床に油を引いて、支点が丸先のコマを回すと。
>上空から見て、コマは重心の周りに回転して、一点に留まり、
>支点が歳差運動よろしく円を描くのではなかろうか???
ですが、小さい地球ゴマの中身のみを取り出し同じく油を塗った鏡の上で回したら
重心の点は動かず、コマの上、支点が歳差運動をすることもあるのが分かりました。

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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか トンガリ - 2006/05/15(Mon) 15:27 No.9349

<円運動>
半径Rで周速Vで円運動している質点Mの向心力は、速度ベクトルの図解と算数で
向心力=MV^2/Rと求まる。この程度は機械設計者にも十分納得できます。

円運動している質点は向心力を受ける。【運動から力を説明】
向心力を受ける質点は円運動をする。 【力から運動を説明】

私の前記の図解は【運動から力を説明】であって、分かり易かったと思います。しかし、
<円運動>の時は【力から運動を説明】であっても、十分納得できます。
注意すべきは、この時のベクトル図は速度ベクトルだけで描かれていることです。
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<歳差運動>
◎たけださんのホームページで
『一つの点が正面にきた時、軸の下端を固定し、上端をごく短時間押して見ましょう。』
(この時、真横から)見ると、(押されたことによって、)ただし、( )内は私の補足です。
『球体は矢印方向の回転を始める。』(ただし、赤色で注意を喚起するとおり)
『軸が矢印方向の回転を始める訳ではありません。』

私流に要約すると、『球体が回転を始める』けれど『軸が回転を始めない』
『球体』と『軸』は一体なので、『一体の物が回転を始める』けれど『一体の物は回転を始めない』となり、
それが理解への近道だとしても、私はこの説明には到底納得できない。論理矛盾ではないか。【質問】

◎たけださんのホームページで
『この2つの赤道上の点が、力を加えた後どちらに動くかを考えて見ましょう。』
(球の裏表の代表例のベクトル図を描いて)『押したことによる新たに生じた運動』

と説明してある。このベクトル図は速度ベクトルばかりの図だと、私は初めは解釈しましたが、
『押したことによる新たに生じた運動』は速度ベクトルではなく、力のベクトルでしょうか。【質問】
速度ベクトルだとすると、押された方向に傾いてしまい、上記の論理矛盾に相当する。
力のベクトルだとすると、ベクトル図に速度ベクトルと力のベクトルを混ぜて良いのでしょうか。【質問】

コマの自転周速のベクトルと解釈されるものが、左図より右図で大きく描かれているも疑問です。
コマの自転周速が増える、すなわち、重力によってコマの自転が加速されるとは思えません。

(速度ベクトルと解釈される)『赤道上の点の元の運動』と『合成した実際の運動』(を比較し、)
『このことは、回転軸が押した方向と直角に左にずれた事を意味します。』(と結論している。)

結論は正しいのだが、説明の途中に飛躍・無理・ゴマカシがあるのではないかと思います。、
私は子細な事で、たけださんを誹謗するつもりはありません。子細な事実・論理を知りたいのです。



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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか トンガリ - 2006/05/15(Mon) 18:34 No.9350

私は先に、ジャイロ効果の納得行く説明ができないか、
【 運動が先にありきで、力を説明する 】 手法がコマの問題を考える時の秘訣か、
と申しました。

これは論理学で言う帰納法でしょうか、
帰納法では前提が真であるからといって結論が必ずしも真であることは保証されない。
しかし、機械設計者は、幾つかの例示に矛盾がなければ、それでも納得してしまいます。

【 力が先にありきで、運動を説明する 】 手法が一般的で、これは演繹法でしょうか、
演繹法においては前提が真であれば結論も必然的に真である。

演繹法は理想的な説明方法ですが、ベクトル外積を使わずに説明するのは無理かも知れない。
だとしたら、私は演繹法での納得を放棄して、帰納法に期待しようと思うのです。

私は演繹法とか帰納法とかを聞いたことは有りましたが、今はじめて理解した気がします。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか たけだ - 2006/05/15(Mon) 18:53 No.9351

トンガリさん こんばんは。
私のホームページを詳細に検討して頂きありがとうございました。
一つずつ考えてみたいと思います。

>『軸が矢印方向の回転を始める訳ではありません。』
の部分は、普通なら押された方向に軸が回転を始めると考えますが、そうはなりません。
と言っているのみです。
(その後に押された方向と直角方向に回転を始めると説明しています。)

力のベクトルか速度ベクトルか?
あまり厳密に考えて書いたのではないので、混乱しているかも知れませんね。
全部を速度ベクトルと考えてください。

>速度ベクトルだとすると、押された方向に傾いてしまい、上記の論理矛盾に相当する。
「押された方向に傾いてしまい」とならないことを説明しているつもりですが。

コマの自転速度のベクトルと解釈されるものが、左図より右図で大きく描かれているも疑問です。
パソコンを使っての製図が下手だったためにこの様になったので、ご容赦下さい。

>『このことは、回転軸が押した方向と直角に左にずれた事を意味します。』(と結論している。)
>結論は正しいのだが、説明の途中に飛躍・無理・ゴマカシがあるのではないかと思います。、
何かを説明して貰ったとき、どの様に理解するかは人様々のようです。
私は、途中に飛躍・無理・ゴマカシはないと思いますが、トンガリさんの様に考えられる方がおられるのも理解できます。
そのため、「コマの原理の分かりにくい理由」でさらに詳細に説明しているつもりですが。

ただ、私のホームページで、普通のコマの説明と地球ゴマの説明とを混ぜるなど、論理的な厳密性を欠く部分もあるのは自覚しています。ただ、分かり易さとのかねあいで、ある程度は仕方がないのではないでしょうか!
もし、本当に厳密に説明しようとすると、「こまはなぜ倒れないか」安井久一著の様になり殆どの人に理解してもらえなくなるのではと考えています。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか トンガリ - 2006/05/15(Mon) 20:52 No.9354

コジルわけではありませんが、

たけださんの
>普通なら押された方向に軸が回転を始めると考えますが、そうはなりません。
>と言っているのみです。
が不満なのです。

そうはならない事実だけを述べるのではなく、
そうはならない理由を丁寧に正確に説明してほしいのです。
この説明の無さを、『 説明の途中に飛躍・無理・ゴマカシがあるのでは 』と私は表現しました。

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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか たけだ - 2006/05/15(Mon) 21:45 No.9356

トンガリさん 大分粘りますね。

>普通なら押された方向に軸が回転を始めると考えますが、そうはなりません。
>と言っているのみです。
が不満なのです。
>そうはならない理由を丁寧に正確に説明してほしいのです。

ここだけでなく、ここ以下の説明を読んで考えても理解して頂けないでしょうか?
私としては、ここ以下でその理由を丁寧に説明しているつもりですが。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか トンガリ - 2006/05/16(Tue) 09:38 No.9360

おかげ様で理解が深まり、私は今朝起きて次の2つの確信を得ました。

1.先ず円運動の向心加速度を速度ベクトル図で説明し、
これを定性的に理解できた者に対して、同じ程度の理解力で、
ジャイロ効果を定性的に、丁寧に説明ができる。

2.先ず円運動の向心加速度を速度ベクトル図で説明し、
これを定量的にも理解できた者に対して、、同じ程度の理解力で、
ジャイロ効果を定量的にも、丁寧に説明ができる。

勿論、論理の飛躍・無理な説明・ゴマカシは一切ありません。
私の上記の説明書の執筆は未着手ではありますが、
たけださんの『回転しているコマは何故倒れないか?』
とは、雲泥の差となる見込みです。

とりあえず、私が到達した考え方に、最も近い物を紹介しますと、
EMANさんの 『もっとも簡単なジャイロ効果』 です。
http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/gyro.html

この中で傾ける≠2回使っていますが、私は大いに気にします。
傾ける の言葉に 傾くけど傾かない との表現に至る危険性を警戒します。
私はジャイロ効果の事実歳差運動方向に傾むく(と)から説明を開始する考えです。

私がこのタイトルの問題を提起した発端は傾くけど傾かない≠フなら、
ほんの少しは傾くのか知らん、永久に倒れないのか、と思ったからです。


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Re: 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか たけだ - 2006/05/16(Tue) 14:58 No.9363

トンガリさま 意気軒昂のようで何よりです。

現在、何かを先生などから教えて貰う時、教える側からの論理で進められ、教わる側からの論理は殆ど働きません。
そのため、どうもよく分からない説明をされ困惑することが多くても、教わる側では如何ともしようがありません。

その意味で、トンガリさんのように反骨精神を持って、邁進される方がおられるのは素晴らしいと思っております。
日本の教育革命のためにも、くじけることなく初志を貫徹されるよう希望しております。

>私の上記の説明書の執筆は未着手ではありますが、
>たけださんの『回転しているコマは何故倒れないか?』
>とは、雲泥の差となる見込みです。

楽しみに待っておりますので頑張ってください。

EMANさんの記事はもちろん拝見しましたが、歳差運動の様なことが起こるのは分かるのですが、永久に倒れない事の説明にはなっていないと感じました。

また、何かを説明して貰ったとき、分かるか、否かは人によってかなりの違いがあるようです。

2chで「▼▼▼▼コマはなぜ倒れないのか?▼▼▼▼ 」と言う掲示板があり私も少し投稿しています。
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1135961842/l50
ここでは、分かり易い説明が殆ど無いと感じたので、しばらくして私のホームページを紹介してみました。
その後、投稿がバッタリ無くなり、皆理解してくれたのかな!と思っていたらしばらくして次のような投稿が載りました。

53 :ご冗談でしょう?名無しさん :2006/03/03(金) 21:12:49 ID:???
>>52
まず角運動量モーメントを定義して、コマの回転軸の方向に角運動量ベクトルが存在することを説明した後
重力によってコマが倒そうとするモーメントが角運動量ベクトルと直交していると説明したほうが分かりやすいよ。

今でもこの方の投稿された意図は分かりませんが、最近ではこの方は正直この様に感じたのではと思っています。
何かを人に説明したとき、人によって受け取り方が全く違うのを身をもって感じました。







無題 Joh - 2006/05/18(Thu) 20:00 No.9404

鍵しっぽメンバーのJohです。

最近、コマの話が続いてますが、私自身よく分からない点があるので、みなさまのお力とお知恵をお貸しください。回転しているコマに力を加えると、ジャイロ効果によりコマは90度位相が遅れた方向に傾く、という法則は了解するとします。

このとき発生するモーメントは、角運動量に比例すると思うのですが、回転がものすご〜くゆっくりだったら(思考実験として、かろうじてバランスを取っているだけで、ほとんど回転していないコマ(例えば10年でようやく一周)を想像してみると)、やはり力を入れた方向にコマはそのまま倒れるのではないか、と思うわけです。

まず、ここまで、間違いだったら御指摘ください。

この状態から徐々に回転を大きくしていけば、直角に発生するジャイロ効果が顕著になってくると思うのですが、やはり軸をそのまま力の向きに倒す力も完全に零にはならないのではないか?、例えば十分回転が速くなっても実際は89.9度くらいに倒れてるんじゃないか、なんて考えました。 


誰か、教えて頂けると助かります。m(_ _)m








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Re: 無題 たけだ - 2006/05/18(Thu) 20:52 No.9409

Johさん こんばんは。
いつもお世話になっています。

まだ、自分で完全には確かめていませんがこの様なホームページがありました。
http://www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/top/top.htm

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Re: 無題 Joh - 2006/05/18(Thu) 21:32 No.9412

たけださん、こちらこそいつもお世話になっております。

歳差運動、章動などは、知識としては一応理解しているつもりです。コマが首を振っても倒れない理由は、首を真横に振るからということだと思うのですが、例えば89.9度横に首を振るとしたら、徐々にではありますが、やはり回っているうちに転ぶでしょうから、やはりコマの反応は、全ての力を合わせても、厳密に言ってに90度横なんでしょうか。

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Re: 無題 たけだ - 2006/05/18(Thu) 22:38 No.9420

Johさん こんばんは。
結局、トンガリさんが 摩擦が無いとコマは永久に倒れないか 
に戻ってしまったようですね。
- 2006/05/13(Sat) 09:40 No.9316

勿論摩擦は無いとしてでしょうが、そうなら厳密に90度横だと思います。

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Re: 無題 Joh - 2006/05/18(Thu) 23:02 No.9425

そうですか・・・。

たとえ100年に一周しかしない超ゆっくりなコマでも、
押したら厳密に横ですか。どうもイメージできません。
もう少し考えてみます。

お付き合いくださってありがとうございました。

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Re: 無題 yama - 2006/05/18(Thu) 23:59 No.9429

明確な解答はできませんが、ヒントになりそうなことを書いておきます。
剛体の運動方程式によれば、角運動量は力と垂直な方向に変化します。
しかし、これは角速度が力と垂直な方向に変化するということではありません。
角運動量ベクトルの方向とと角速度ベクトルの方向は一般には一致しないからです。
たとえば、コマが鉛直に立って回転しているときは、角運動量も角速度も鉛直方向で一致していますが、歳差運動をしているときは両者の方向は異なっています。

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Re: 無題 トンガリ - 2006/05/19(Fri) 00:02 No.9430

適切な答えにはなりせんが、私の直感の一つを紹介します。

たとえ100年に一周しかしない超ゆっくりなコマ、すなわち無限小の自転速度のコマは、
無限大の超高速で歳差運動をしてないと重力のモーメントに絶えることは出来ない。
しかし、初めに与えた運動エネルギーの有限性を考慮すると、無限大はありえない。


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Re: 無題 Joh - 2006/05/19(Fri) 00:32 No.9434

>歳差運動をしているときは両者の方向は異なっています。

その通りですね!!あまり、しっかり考えたことがありませんでした。ゆっくり考えてみます。

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Re: 無題 トンガリ - 2006/05/19(Fri) 00:43 No.9437

【逆質問】コマの章動って簡単に言うと何ですか。私が勝手にイメージして、勝手に問います。

1.理想の正確に円形や正方形のコマは、慣性主モーメントが同じ値で慣性楕円が円となる特殊な例で、
歳差運動中の自転を詳しく観察しても、重力に抗するモーメントに変動がなく、章動が起こらない。

2.現実のコマ・典型的には長方形のコマは慣性主モーメントに最大と最小があり、まさに慣性楕円で、
歳差運動中の自転を詳しく観察すると、重力に抗するモーメントに変動があり、章動が起る。

3.ガラス板を持ち上げた床でコマを回したとき、以外と大きな音がしたのは、章動のせいであった。

てなことでしょうか。的外れでしょうか。


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Re: 無題 yama - 2006/05/19(Fri) 01:18 No.9438

3.については何とも言えませんが、1.と2.は的外れだと思います。
1.は対称コマのことだと思いますが、対称コマの運動方程式を解くと一般に章動を伴う解が得られます。
2.は非対称コマのことだと思いますが、非対称コマの運動は非常に複雑で、特殊な場合を除いて解析的に解くことはできないと思われます。
その複雑な運動は、章動という規則正しい運動とは無縁だと思います。

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Re: 無題 トンガリ - 2006/05/19(Fri) 10:29 No.9447

何とも奥が深いですね。
私は章動を理解することをギブアップします。

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Re: 無題 たけだ - 2006/05/19(Fri) 14:16 No.9450

Johさん こんにちは。
>たとえ100年に一周しかしない超ゆっくりなコマでも、・・
その様なとんでもないことを考えておられるとは思いませんでした。

その辺の回答に近いかなと言うのを考えてホームページでアップしてみました。
見ていただければ幸いです。
http://homepage3.nifty.com/ichirotakeda/newpage5.html
アー クタビレタ!


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Re: 無題 ZIG - 2006/05/20(Sat) 01:33 No.9463

ええと、物理にそこまで詳しいわけではないので、見当違いなことを言っていたら勘弁願いたいのですが、ジャイロ効果によって傾くのはコマではなくてコマの回転軸では?
つまり、コマについている物理的な「軸」と「回転軸」は別物かと。
勿論この二つはコマの回転が十分速い場合にはほぼ一致していると思われますが(一致していない場合に現れるのが首振り?)、超低速の場合には回転軸が九十度横に、大きく(水平近くまで)傾き、結果、コマそのものの回転方向は力の働いた方向に近づき、地面に向かって回転、つまり倒れると思われるのですがどうでしょうか?

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Re: 無題 たけだ - 2006/05/20(Sat) 06:02 No.9464

ZIGさん はじめまして。
>つまり、コマについている物理的な「軸」と「回転軸」は別物かと。
その通りと思います。

>(一致していない場合に現れるのが首振り?)
首振りは歳差運動のことと思いますが、この場合は一致していると思いますが。

>超低速の場合は・・・
その通りと考えます。

Johさんへ
この様な場合は、角運動量ベクトルと言った考え方でなく、元に戻って私のホームページにあるような球面での点の運動を考えた方が分かり易いと思います。
そうすると、超低速のもともとの回転など全く意味を持たないのが良く理解できるのでは?

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Re: 無題 たけだ - 2006/05/20(Sat) 13:20 No.9468

ホームページでの図があまり適当でなかったので、より分かり易い物に入れ替えました。
かなり分かり易くなったと思います。

http://homepage3.nifty.com/ichirotakeda/newpage5.html

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Re: 無題 ZIG - 2006/05/20(Sat) 17:24 No.9477

あと、摩擦がない場合にコマが倒れないか、という問題んついて
少々無茶な議論かもしれませんが、摩擦がないという状態においてはそもそも倒れる=回転停止という概念自体が成り立たないのでは?
例えばコマの側面が地面に衝突したとすると、摩擦が存在する場合コマは転がってしまうでしょうが、摩擦がない場合単に反射するだけで、コマの回転は保たれると思います。
大きな力が加わったり衝突によって減衰したり重力が関ったときの影響がどうでるかはちょっと分らないのですが、たとえコマが起き上がらなくなったとしても回転したままというちょっと変な状態になるのでは?

たけださん、ホームページ拝見しました。勉強になります。

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Re: 無題 Joh - 2006/05/20(Sat) 17:49 No.9480

たけださん、ZIGさん、返信ありがとうございます。

たけださんのホームページは勉強になります!

>つまり、コマについている物理的な「軸」と「回転軸」は別物かと。

私の疑問は、ここを混同していたことにあるみたいですね。徐々に疑問は晴れてきています。(まだ手を動かして計算してませんが、イメージは固まりつつあります。)

ヘリコプターのローターは大きな独楽のようなものですから、操縦のためにローター面を傾けようとすると、ジャイロ効果のために90度ずれた方向にローターは傾こうとします。(そこで、90度ねじれた操縦システムを使います。)もしくは、擾乱などで揚力に変化が起こると、90度ずれた方向に機体姿勢の変化がおこるので面倒です。私の疑問は、こんなことを色々考えていて湧いてきました。もっと勉強しないと駄目ですね!みなさん、これからも宜しくお願いします。

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Re: 無題 たけだ - 2006/05/20(Sat) 23:12 No.9488

ZIGさん、Johさん レスありがとうございました。
ホームページ評価して頂きとても嬉しいです。

>摩擦がない場合にコマが倒れないか・・・
ですが、そこまでは考えていません。
一応検討していたのは、歳差運動をしながら段々倒れていくか、それとも重心が同じ高さに留まっているか迄です。

>徐々に疑問は晴れてきています。
良かったですね。少しはお役に立てたようで何よりです。
それにしても、理解すると言うのは、人によって非常に異なる個性的な物なのですね。

ヘリコプターの話、興味深く拝読しました。
色々面白いことがあるのですね。


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Re: 無題 yama - 2006/05/21(Sun) 00:13 No.9490

確かにZIGさんの言われるようにコマ自身の軸と回転軸は区別する必要がありますね。
そこで、あらためてたけださんのホームページを読み直してみると、ちょっと疑問が生じてきました。
たけださんの図と説明で、回転軸が押した方向と直角にずれることは納得できます。
では、この場合元の回転軸と新しい回転軸との関係はどうなっているのでしょうか。
はっきり区別できるように、元の回転軸の位置に針を刺しておくものとすると、次の2つの可能性が考えられます。

@ 元の回転軸がずれて、それがそのまま新しい回転軸になる。すなわち針が、押した方向と直角にずれて、その針を中心に回転するようになる。

A 元の回転軸とは別に新しい回転軸ができる。すなわち針からずれた位置が新しい回転軸になる。従って針は、新しい回転軸のまわりに円錐を描くように回転する。

たけださんの図や説明によると、Aになるように受け取れます。しかし、そのあとの歳差運動の説明では、コマの軸自体が直角方向に動くように説明されていて、これは@の場合に相当します。
つまり、回転軸のずれの説明と歳差運動の説明がうまくつながっていないように思われるのですがいかがでしょうか。
球による説明では@とAが混同されやすいので、できれば円盤に中心軸を取り付けた形のコマで説明していただけるといいのですが。

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Re: 無題 たけだ - 2006/05/21(Sun) 10:20 http://homepage3.nifty.com/ichirotakeda/newpage5.html No.9493

yamaさん さすがに鋭いご指摘ですね。
>たけださんの図と説明で、回転軸が押した方向と直角にずれることは納得できます。
とありますが、このモデルではここまでの説明が限界なのです。

新しく書き加えたホームページで、このモデルでは歳差運動をしながらコマの回転速度が上がっていくのでおかしい。
そうならないためには、非常に短い時間で区切って何度も計算をやり直す必要があると説明しました。

実は、この時に同時に新しい座標系に移し替え、力の向き、新しい座標平面などを考慮して、同じような操作を繰り返す必要があるのです。そうでないと、コマの軸頂は円形の歳差運動をしてくれません。
いずれその辺の説明も付け加えたいと考えています。

トンガリさんが大分反発した原因もこの辺にあるかとも思います。

それでは、この説明には欠陥があるか!と言うと、ベクトルを使った説明でも回転速度が上昇するような図を普通に使っていますので、むしろコマの原理の説明しにくさに問題があるのではないでしょうか。

>元の回転軸と新しい回転軸との関係
についてはもう少し考えさせて下さい。